Mr.インクレディブルことボブ・パーと妻のヘレンは、かつて世の中の平和を乱す悪と闘い、人々を危機から救い出す大活躍をしていた。ところが、15年前のスーパー・ヒーロー制度廃止を機に、夫妻は一般市民として暮らすことを余儀なくされ、3人の子供たちヴァイオレット、ダッシュ、ジャック・ジャックと共に、“普通”の家族生活を送ろうと努力していた。再び世界を救うことを夢見続けるボブの元に、ある日、謎の手紙が届く。それは、彼と彼の愛する家族にとって、想像を絶する冒険の始まりだった…。

1860年、夏のフランス。パリで金物商を営むデュフール（アンドレ・ガブリエロ）は、妻ジュリエット（ジャヌ・マルカン）、義母（ガブリエル・フォンタン）、まな娘アンリエット（シルヴィア・バタイユ）、そして彼女の婚約者で婿養子となる予定のアナトール（ポール・タン）とピクニックに出掛ける。馬車を走らせて田舎にやって来た彼らは、太陽の光や草木の匂いを楽しみながら穏やかな一日を過ごそうとする。そんな中アンリエットは、舟こぎの青年アンリ（ジョルジュ・サン＝サーンス）から舟で川に出ないかと誘われる。